微分積分例

$\int e^{2 x} \cos (x) d x$

Step 1

$e^{2 x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (x) e^{2 x} d x$

Step 2

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x$

Step 3

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot - 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Step 4

分数をまとめます。

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$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

$\cos (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

$e^{2 x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int \sin (x) e^{2 x} d x)$

Step 5

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x))$

Step 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Step 7

項を簡約します。

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$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

$\sin (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} \cdot \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ に $\frac{- 1}{2}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{2 \cdot 2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

掛け算します。

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$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + 1 (\frac{- 1}{2}) (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

$\frac{- 1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{- 1}{2}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

Step 8

$\int e^{2 x} \cos (x) d x$ を解くと、 $\int e^{2 x} \cos (x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Step 9

答えを簡約します。

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簡約します。

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$- 1$ を $\sin (x) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1 \cdot (\sin (x) e^{2 x})}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - - \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + 1 \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

分数の逆数を掛け、 $\frac{5}{4}$ で割ります。

$(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

$(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ を $(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

微分積分 例

微分積分例