微分積分例

$\int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x$

Step 1

$e^{x}$ と $\sin (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (2 x) \cdot e^{x} d x$

Step 2

$u = \sin (2 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x$

Step 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Step 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

$e^{x}$ と $\cos (2 x)$ を並べ替えます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 \int \cos (2 x) e^{x} d x$

Step 5

$u = \cos (2 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x)$

Step 6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x))$

Step 7

両辺を掛けて簡約します。

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$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

分配則を当てはめます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x}) - 2 (2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

Step 8

$\int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x$ = $\frac{\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x})}{5}$ であることが分かります。

$\frac{\sin (2 x) e^{x} - 2 (\cos (2 x) e^{x})}{5} + C$

Step 9

$\frac{\sin (2 x) e^{x} - 2 \cos (2 x) e^{x}}{5} + C$ を $\frac{1}{5} (\sin (2 x) e^{x} - 2 \cos (2 x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} (\sin (2 x) e^{x} - 2 \cos (2 x) e^{x}) + C$

微分積分 例