微分積分例

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

$2 π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

簡約します。

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$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 π)$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

簡約します。

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分子を簡約します。

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角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{\sin (0)}{2}$

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{2}$

$0$ を $2$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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