微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

$2$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 52$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 52$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

$- 3 x^{2} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $- 3 x^{2} + 18 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

$\frac{d}{d x} [18 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

$18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + 18$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 6 x + 18$ です。

$- 6 x + 18$

Step 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x + 18 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x + 18 = 0$

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$- 6 x = - 18$

$- 6 x = - 18$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 6 x = - 18$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 18}{- 6}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 18$ を $- 6$ で割ります。

$x = 3$

Step 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 52$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

$- 1$ に $27$ をかけます。

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 52$

$9$ に $9$ をかけます。

$f (3) = - 27 + 81 - 52$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 27$ と $81$ をたし算します。

$f (3) = 54 - 52$

$54$ から $52$ を引きます。

$f (3) = 2$

最終的な答えは $2$ です。

$2$

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ で代入して $3$ 求めた点は、 $(3, 2)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3, 2)$

Step 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $2.9$ で置換えます。

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 6$ に $2.9$ をかけます。

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

$- 17.4$ と $18$ をたし算します。

$f'' (2.9) = 0.6$

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

$2.9$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 3)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 3)$ で増加

Step 6

区間 $(3, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $3.1$ で置換えます。

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 6$ に $3.1$ をかけます。

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

$- 18.6$ と $18$ をたし算します。

$f'' (3.1) = - 0.6$

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

$3.1$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(3, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

Step 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(3, 2)$ です。

$(3, 2)$

Step 8

微分積分 例

微分積分例