微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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総和則では、 $3 x^{4} + 6 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

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$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

$3$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} + 18 x^{2}$ です。

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

$6 x^{2}$ を $12 x^{3} + 18 x^{2}$ で因数分解します。

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$6 x^{2}$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

$6 x^{2}$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

$6 x^{2}$ を $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ で因数分解します。

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

右辺を簡約します。

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分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

最終解は $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - \frac{3}{2}$ です。

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 2.5$ で置換えます。

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 2.5$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

$12$ に $- 15.625$ をかけます。

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

$- 2.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

$18$ に $6.25$ をかけます。

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

$- 187.5$ と $112.5$ をたし算します。

$f' (- 2.5) = - 75$

最終的な答えは $- 75$ です。

$- 75$

$x = - 2.5$ で微分係数は $- 75$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{3}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{3}{2})$ で減少

Step 6

区間 $(- 1.5, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 0.75$ で置換えます。

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 0.75$ を $3$ 乗します。

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

$12$ に $- 0.421875$ をかけます。

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

$- 0.75$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

$18$ に $0.5625$ をかけます。

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

$- 5.0625$ と $10.125$ をたし算します。

$f' (- 0.75) = 5.0625$

最終的な答えは $5.0625$ です。

$5.0625$

$x = - 0.75$ で微分係数は $5.0625$ です。これは正の値なので、関数は $(- 1.5, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{3}{2}, 0)$ で増加

Step 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

$18$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 12 + 18$

$12$ と $18$ をたし算します。

$f' (1) = 30$

最終的な答えは $30$ です。

$30$

$x = 1$ で微分係数は $30$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

Step 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \frac{3}{2})$ で減少

Step 9

微分積分 例

微分積分例