微分積分例

$y = \sqrt{x} + 5 \sqrt{5 x}$ , $x = 2$

Step 1

総和則では、 $\sqrt{x} + 5 \sqrt{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

Step 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$

Step 3

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x}$ を ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 {(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 {(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

$5$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

$5^{\frac{3}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

$5^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 4

簡約します。

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負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 6

各項を簡約します。

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指数を足して $2$ に ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{1} {(2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

指数を足して $2$ に ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{1} {(2)}^{\frac{1}{2}}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{1 + \frac{1}{2}}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 + 1}{2}}}$

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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