微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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総和則では、 $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} + 2 x + 4$ です。

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$2$ を $12 x^{2} + 2 x + 4$ で因数分解します。

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$2$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

$2$ を $2 (6 x^{2}) + 2 x$ で因数分解します。

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

$2$ を $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

$6 x^{2} + x + 2$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

右辺を簡約します。

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$0$ を $2$ で割ります。

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$a = 6$ 、 $b = 1$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

簡約します。

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分子を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ を掛けます。

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$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ を $- 1 (47)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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分子を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ を掛けます。

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$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ を $- 1 (47)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ を $i \sqrt{47}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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分子を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 4 \cdot 6 \cdot 2$ を掛けます。

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$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

$- 24$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

$1$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

$- 47$ を $- 1 (47)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1 (47)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

$2$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

$- 1$ を $- i \sqrt{47}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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