微分積分例

$\log_{a} (x)$

Step 1

底の変換の公式を利用して $\log_{a} (x)$ を書き換えます。

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

$b = e$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

定数倍の公式を使って微分します。

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$\ln (x)$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ の微分係数は $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ です。

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

$\frac{1}{\ln (a)}$ を $\ln^{- 1} (a)$ に書き換えます。

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

$f (a) = a^{- 1}$ および $g (a) = \ln (a)$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (a)$ とします。

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

$u$ のすべての発生を $\ln (a)$ で置き換えます。

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

$a$ に関する $\ln (a)$ の微分係数は $\frac{1}{a}$ です。

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

分数をまとめます。

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$\frac{1}{a}$ と $\ln^{- 2} (a)$ をまとめます。

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $\ln^{- 2} (a)$ を分母に移動させます。

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

$\ln (x)$ と $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$

微分積分 例