微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 10 x + 24}{x - 4}$

Step 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 10 x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

分子の極限値を求めます。

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$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$x$ が $4$ に近づくと定数である $24$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

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$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2} - 10 lim_{x \to 4} x + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2} - 10 \cdot 4 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

答えを簡約します。

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各項を簡約します。

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$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 - 10 \cdot 4 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$- 10$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 - 40 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$16$ から $40$ を引きます。

$\frac{- 24 + 24}{lim_{x \to 4} x - 4}$

$- 24$ と $24$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

分母の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

答えを簡約します。

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$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 10 x + 24}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

総和則では、 $x^{2} - 10 x + 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

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$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$- 10$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [24]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

$2 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1 + 0}$

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 10}{1}$

$2 x - 10$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 4} 2 x - 10$

Step 2

極限を求めます。

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$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 10$

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 10$

$x$ が $4$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 10$

Step 3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 10$

Step 4

答えを簡約します。

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各項を簡約します。

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$2$ に $4$ をかけます。

$8 - 1 \cdot 10$

$- 1$ に $10$ をかけます。

$8 - 10$

$8$ から $10$ を引きます。

$- 2$

微分積分 例

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