微分積分例

$y = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 1

$y = 3 x^{3} - 36 x - 4$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $3 x^{3} - 36 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

$- 36$ に $1$ をかけます。

$9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [- 4]$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} - 36 + 0$

$9 x^{2} - 36$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2} - 36$

Step 3

関数の二次導関数を求めます。

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総和則では、 $9 x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

$2$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 18 x + 0$

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 x$

Step 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$9 x^{2} - 36 = 0$

Step 5

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $3 x^{3} - 36 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} (- 4)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + 0$

$9 x^{2} - 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $9 x^{2} - 36$ です。

$9 x^{2} - 36$

Step 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{2} - 36 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{2} - 36 = 0$

方程式の両辺に $36$ を足します。

$9 x^{2} = 36$

$9 x^{2} = 36$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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$9 x^{2} = 36$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

左辺を簡約します。

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$9$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{36}{9}$

右辺を簡約します。

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$36$ を $9$ で割ります。

$x^{2} = 4$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

Step 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 8

値を求める臨界点です。

$x = 2, - 2$

Step 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$18 (2)$

Step 10

$18$ に $2$ をかけます。

$36$

Step 11

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

Step 12

$x = 2$ のときy値を求めます。

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式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2 - 4$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

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$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2 - 4$

$3$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2 - 4$

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 24 - 72 - 4$

数を引いて簡約します。

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$24$ から $72$ を引きます。

$f (2) = - 48 - 4$

$- 48$ から $4$ を引きます。

$f (2) = - 52$

最終的な答えは $- 52$ です。

$y = - 52$

Step 13

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$18 (- 2)$

Step 14

$18$ に $- 2$ をかけます。

$- 36$

Step 15

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

Step 16

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2 - 4$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2 - 4$

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 4$

$- 36$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 24 + 72 - 4$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 24$ と $72$ をたし算します。

$f (- 2) = 48 - 4$

$48$ から $4$ を引きます。

$f (- 2) = 44$

最終的な答えは $44$ です。

$y = 44$

Step 17

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$ の極値です。

$(2, - 52)$ は極小値です

$(- 2, 44)$ は極大値です

Step 18

微分積分 例

微分積分例