微分積分例

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

$\sec^{4} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

式を簡約します。

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$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (u_{1})$ を $1 + \tan^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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$\tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1})$

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

簡約します。

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

簡約します。

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$\frac{1}{3}$ と $\tan^{3} (2 x)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

$\frac{1}{2}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

まとめる。

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

各項を簡約します。

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$\tan^{3} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例