微分積分例

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (10 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 10 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $10 x$ とします。

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$u$ のすべての発生を $10 x$ で置き換えます。

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

微分します。

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$\frac{1}{10 x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

項を簡約します。

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$10$ と $\frac{\ln (x)}{10 x}$ をまとめます。

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$10$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$\frac{\ln (x)}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

$\ln (10 x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

簡約します。

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公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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$x$ を移動させます。

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$

微分積分 例

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