微分積分例

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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$x^{2 \ln (x)}$ を $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

$2 \ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2 \ln (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 \ln^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

$u_{1}$ のすべての発生を $2 \ln^{2} (x)$ で置き換えます。

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln^{2} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ です。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

分数をまとめます。

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$\frac{1}{x}$ と $4$ をまとめます。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

$\frac{4}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

$e^{2 \ln^{2} (x)}$ と $\frac{4 \ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

分子を簡約します。

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積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

$4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ を掛けます。

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$\ln (x)$ と $4$ を並べ替えます。

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

対数の中の $4$ を移動させて $4 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

$\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$

微分積分 例

微分積分例