微分積分例

$y = {(x + 4 \ln (x))}^{4}$

Step 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 4 \ln (x))}^{4})$

Step 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

Step 3

方程式の右辺を微分します。

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$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x + 4 \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4 \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

$u$ のすべての発生を $x + 4 \ln (x)$ で置き換えます。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

微分します。

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総和則では、 $x + 4 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ です。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{1}{x})$

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

微分積分 例