微分積分例

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x^{4} - 72 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ の値を求めます。

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$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x^{2}$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

$2$ に $- 72$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 144 x$ です。

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 144 x = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 144 x = 0$

方程式の左辺を因数分解します。

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$4 x$ を $4 x^{3} - 144 x$ で因数分解します。

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$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

$4 x$ を $- 144 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

因数分解。

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両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

最終解は $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 6, 6$ です。

$0, - 6, 6$

Step 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 7$ で置換えます。

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 7$ を $3$ 乗します。

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

$4$ に $- 343$ をかけます。

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

$- 144$ に $- 7$ をかけます。

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

$- 1372$ と $1008$ をたし算します。

$f' (- 7) = - 364$

最終的な答えは $- 364$ です。

$- 364$

$x = - 7$ で微分係数は $- 364$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で減少

Step 6

区間 $(- 6, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 3$ を $3$ 乗します。

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

$- 144$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = - 108 + 432$

$- 108$ と $432$ をたし算します。

$f' (- 3) = 324$

最終的な答えは $324$ です。

$324$

$x = - 3$ で微分係数は $324$ です。これは正の値なので、関数は $(- 6, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 6, 0)$ で増加

Step 7

区間 $(0, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

$- 144$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 432$

$108$ から $432$ を引きます。

$f' (3) = - 324$

最終的な答えは $- 324$ です。

$- 324$

$x = 3$ で微分係数は $- 324$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 6)$ で減少

Step 8

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$7$ を $3$ 乗します。

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

$4$ に $343$ をかけます。

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

$- 144$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = 1372 - 1008$

$1372$ から $1008$ を引きます。

$f' (7) = 364$

最終的な答えは $364$ です。

$364$

$x = 7$ で微分係数は $364$ です。これは正の値なので、関数は $(6, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(6, \infty)$ で増加

Step 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 6, 0), (6, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 6), (0, 6)$ で減少

Step 10

微分積分 例

微分積分例