微分積分例

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ を ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

$\frac{3}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{3}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

$n = - \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

$- 3$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

$x^{- \frac{7}{4}}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

$\frac{1}{4}$ に $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

$3$ を $x^{- \frac{7}{4}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{7}{4}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{3}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ の微分係数は $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ を ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

$\frac{7}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{7}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

$n = - \frac{7}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

$- 7$ から $4$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

$x^{- \frac{11}{4}}$ と $\frac{7}{4}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

$\frac{3}{16}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

$\frac{3}{16}$ に $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$7$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

$16$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{11}{4}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{21}{64}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ の微分係数は $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ を ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

$\frac{11}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{11}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

$11$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

$n = - \frac{11}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

$- 11$ から $4$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

$x^{- \frac{15}{4}}$ と $\frac{11}{4}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

$\frac{21}{64}$ に $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$11$ に $21$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

$64$ に $4$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{15}{4}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ です。

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

微分積分 例

微分積分例