微分積分例

$\arctan ({(x)}^{2})$

Step 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = {(x)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を ${(x)}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

$u$ のすべての発生を ${(x)}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 2

べき乗則を使って微分します。

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${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

分数をまとめます。

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$2$ と $\frac{1}{1 + x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

微分積分 例