微分積分例

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

総和則では、 $x^{5} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ と $- 5$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ を $5$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

共通因数を約分します。

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

式を書き換えます。

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

$- 1$ を $1$ で割ります。

$x^{4} - 1$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

総和則では、 $x^{5} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{5}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

$\frac{1}{5}$ と $- 5$ をまとめます。

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

共通因数を約分します。

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

式を書き換えます。

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

$- 1$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{4} - 1$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{4} - 1$ です。

$x^{4} - 1$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{4} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{4} - 1 = 0$

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{4} = 1$

方程式の両辺の4乗根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

Step 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1$

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

Step 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

Step 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

$1$ から $5$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

分数の前に負数を移動させます。

$f (1) = - \frac{4}{5}$

最終的な答えは $- \frac{4}{5}$ です。

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 1$

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

Step 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

最終的な答えは $\frac{4}{5}$ です。

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ の極値です。

$(1, - \frac{4}{5})$ は極小値です

$(- 1, \frac{4}{5})$ は極大値です

Step 17

微分積分 例

微分積分例