微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} - 8}{x - 3}$

Step 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} 2^{x} - 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限を求めます。

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$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} 2^{x} - lim_{x \to 3} 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

指数に極限を移動させます。

$\frac{2^{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

$x$ が $3$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{lim_{x \to 3} x} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

答えを簡約します。

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各項を簡約します。

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$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 3} x - 3}$

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

分母の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

答えを簡約します。

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$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 3}$

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} - 8}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

総和則では、 $2^{x} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

$2^{x} \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2)}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2)}{1 + 0}$

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2^{x} \ln (2)}{1}$

$2^{x} \ln (2)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 3} 2^{x} \ln (2)$

Step 2

極限を求めます。

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$\ln (2)$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (2) lim_{x \to 3} 2^{x}$

指数に極限を移動させます。

$\ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 3} x}$

Step 3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (2) \cdot 2^{3}$

Step 4

答えを簡約します。

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$2$ を $3$ 乗します。

$\ln (2) \cdot 8$

$8$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$8 \ln (2)$

Step 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$8 \ln (2)$

10進法形式：

$5.54517744 \dots$

微分積分 例

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