微分積分例

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

$\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 128 x^{2}$ の微分係数は $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

$2$ に $- 128$ をかけます。

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4096$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4096$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 256 x + 0$

$4 x^{3} - 256 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $4 x^{3} - 256 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

$\frac{d}{d x} [- 256 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 256$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 256 x$ の微分係数は $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

$- 256$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

$\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 128 x^{2}$ の微分係数は $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

$2$ に $- 128$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4096$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4096$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

$4 x^{3} - 256 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 256 x$ です。

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 256 x = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 256 x = 0$

方程式の左辺を因数分解します。

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$4 x$ を $4 x^{3} - 256 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

$4 x$ を $- 256 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

因数分解。

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両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 8$ です。

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

最終解は $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 256$

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 256$

$0$ から $256$ を引きます。

$- 256$

Step 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

Step 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

$- 128$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 4096$

$0$ と $4096$ をたし算します。

$f (0) = 4096$

最終的な答えは $4096$ です。

$y = 4096$

Step 12

$x = - 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 64 - 256$

$12$ に $64$ をかけます。

$768 - 256$

$768$ から $256$ を引きます。

$512$

Step 14

$x = - 8$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 8$ は極小値です

Step 15

$x = - 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ を $4$ 乗します。

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

$- 128$ に $64$ をかけます。

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4096$ から $8192$ を引きます。

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

$- 4096$ と $4096$ をたし算します。

$f (- 8) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

Step 16

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 64 - 256$

$12$ に $64$ をかけます。

$768 - 256$

$768$ から $256$ を引きます。

$512$

Step 18

$x = 8$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極小値です

Step 19

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $4$ 乗します。

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

$8$ を $2$ 乗します。

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

$- 128$ に $64$ をかけます。

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4096$ から $8192$ を引きます。

$f (8) = - 4096 + 4096$

$- 4096$ と $4096$ をたし算します。

$f (8) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

Step 20

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ の極値です。

$(0, 4096)$ は極大値です

$(- 8, 0)$ は極小値です

$(8, 0)$ は極小値です

Step 21

微分積分 例

微分積分例