微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x}$

Step 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

分子の極限値を求めます。

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$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

答えを簡約します。

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$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

総和則では、 $x + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

$1 + \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Step 2

極限を求めます。

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$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 + \cos (0)$

Step 4

答えを簡約します。

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$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 + 1$

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

微分積分 例

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