微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Step 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = - x^{2} + 1$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

総和則では、 $- x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$- 2 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ を $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

$x^{2} + 1$ と ${(x^{2} + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + 1$ を $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Step 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

最終解は $2 x (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Step 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 1}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{1}$

$0$ を $1$ で割ります。

$f (0) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$0$

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

$\sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $\sqrt{3}$ で置換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

式を書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

指数を求めます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

$3$ と $1$ をたし算します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{4}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ で代入して $\sqrt{3}$ 求めた点は、 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

$- \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

指数を求めます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

$3$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{4}$

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ で代入して $- \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 1.8320508$ で置換えます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{2 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 1.8320508$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 3.66410161 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

$- 3.66410161$ に ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ をかけます。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

$3.35641016$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

$4.35641016$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{82.67730033}$

$- 1.30592304$ を $82.67730033$ で割ります。

$f'' (- 1.8320508) = - 0.01579542$

最終的な答えは $- 0.01579542$ です。

$- 0.01579542$

$- 1.8320508$ で二次導関数は $- 0.01579542$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{3})$ で減少

Step 6

区間 $(- \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 0.8660254$ で置換えます。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{2 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 0.8660254$ をかけます。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 1.7320508 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

$- 1.7320508$ に ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ をかけます。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 0.8660254$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

$0.75$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{1.75}^{3}}$

$1.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{5.359375}$

$3.89711431$ を $5.359375$ で割ります。

$f'' (- 0.8660254) = 0.72715835$

最終的な答えは $0.72715835$ です。

$0.72715835$

$- 0.8660254$ で二次導関数は $0.72715835$ です。これは正の値なので、 $(- \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{3}, 0)$ で増加

Step 7

区間 $(0, \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $0.8660254$ で置換えます。

$f'' (0.8660254) = \frac{2 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $0.8660254$ をかけます。

$f'' (0.8660254) = \frac{1.7320508 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

$1.7320508$ に ${0.8660254}^{2} - 3$ をかけます。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0.8660254$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

$0.75$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{1.75}^{3}}$

$1.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{5.359375}$

$- 3.89711431$ を $5.359375$ で割ります。

$f'' (0.8660254) = - 0.72715835$

最終的な答えは $- 0.72715835$ です。

$- 0.72715835$

$0.8660254$ で二次導関数は $- 0.72715835$ です。これは負の値なので、 $(0, \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \sqrt{3})$ で減少

Step 8

区間 $(\sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $1.8320508$ で置換えます。

$f'' (1.8320508) = \frac{2 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $1.8320508$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = \frac{3.66410161 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

$3.66410161$ に ${1.8320508}^{2} - 3$ をかけます。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

$3.35641016$ と $1$ をたし算します。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

$4.35641016$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{82.67730033}$

$1.30592304$ を $82.67730033$ で割ります。

$f'' (1.8320508) = 0.01579542$

最終的な答えは $0.01579542$ です。

$0.01579542$

$1.8320508$ で二次導関数は $0.01579542$ です。これは正の値なので、 $(\sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\sqrt{3}, \infty)$ で増加

Step 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 10

微分積分 例

微分積分例