代数例

$\frac{8}{x^{2} - 4}$

Step 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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分数を因数分解します。

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$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x - 2)$ です。

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

式を書き換えます。

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$8$ を $1$ で割ります。

$8 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

各項を簡約します。

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$x + 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$8 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

分配則を当てはめます。

$8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$8 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

分配則を当てはめます。

$8 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$8 = A x - 2 A + B x + 2 B$

$- 2 A$ を移動させます。

$8 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Step 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$8 = - 2 A + 2 B$

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Step 3

連立方程式を解きます。

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$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

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方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$8 = - 2 A + 2 B$

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

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$8 = - 2 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$8 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

右辺を簡約します。

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$- 2 (- B) + 2 B$ を簡約します。

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$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$8 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

$2 B$ と $2 B$ をたし算します。

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$ の $B$ について解きます。

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方程式を $4 B = 8$ として書き換えます。

$4 B = 8$

$A = - B$

$4 B = 8$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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$4 B = 8$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

左辺を簡約します。

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$4$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

右辺を簡約します。

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$8$ を $4$ で割ります。

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$A = - (2)$

$B = 2$

右辺を簡約します。

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$- 1$ に $2$ をかけます。

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

すべての解をまとめます。

$A = - 2, B = 2$

Step 4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$

代数 例

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