代数例

$\sqrt{x}$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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分数指数をもつ式を根に変換します。

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法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x} = 0$

$x$ について解きます。

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方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

式を書き換えます。

$4 x^{1} = 0^{2}$

簡約します。

$4 x = 0^{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x = 0$

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

Step 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

$4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{1}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

Step 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

Step 11

代数 例

代数例