代数例

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{3} + x^{2} - x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

$3 x^{2} + 2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $3 x^{2} + 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

$6 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{3} + x^{2} - x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

$3 x^{2} + 2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 2 x - 1$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

群による因数分解。

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$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

各群から最大公約数を因数分解します。

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前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

左辺を簡約します。

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$3$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

最終解は $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

$x = \frac{1}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

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$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

式を書き換えます。

$2 + 2$

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{3}$ は極小値です

Step 11

$x = \frac{1}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

公分母を求めます。

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$\frac{1}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

$\frac{1}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

$\frac{1}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

$\frac{1}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

式を簡約します。

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$- 1$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

$4$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

$- 5$ から $27$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

最終的な答えは $- \frac{32}{27}$ です。

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- 1) + 2$

Step 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 + 2$

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

Step 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 1 - 1$

$1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

Step 16

$f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ の極値です。

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ は極小値です

$(- 1, 0)$ は極大値です

Step 17

代数 例

代数例