代数例

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$

Step 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$f (x) = p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Step 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$f (x) = \pm 1, \pm 2$

Step 3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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$1$ を多項式に代入します。

$f (x) = 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

$1$ を $3$ 乗します。

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

$1$ を $2$ 乗します。

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 - 2$

$5$ に $1$ をかけます。

$f (x) = 1 + 5 - 4 \cdot 1 - 2$

$1$ と $5$ をたし算します。

$f (x) = 6 - 4 \cdot 1 - 2$

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f (x) = 6 - 4 - 2$

$6$ から $4$ を引きます。

$f (x) = 2 - 2$

$2$ から $2$ を引きます。

$f (x) = 0$

Step 4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2}{x - 1}$

Step 5

$x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ を $x - 1$ で割ります。

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多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$f (x) =$

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$f (x) =$

新しい商の項に除数を掛けます。

$f (x) =$

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$f (x) =$

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$f (x) =$

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$f (x) =$

被除数 $6 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$f (x) =$

新しい商の項に除数を掛けます。

$f (x) =$

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

$f (x) =$

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$f (x) =$

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$f (x) =$

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$f (x) =$

新しい商の項に除数を掛けます。

$f (x) =$

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

$f (x) =$

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$f (x) =$

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$f (x) = x^{2} + 6 x + 2$

Step 6

$x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x - 1) (x^{2} + 6 x + 2)$

代数 例

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