代数例

$[\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x$

Step 1

逆行列を求めます。

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$2 \times 2$ 行列の逆は公式 $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $| A |$ は $A$ の行列式です。

$A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ ならば、 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

$[\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ の行列式を求めます。

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どちらも行列式の有効な表記法です。

$行列式 [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array} |$

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(7) (- 2) - 3 \cdot - 2$

行列式を簡約します。

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各項を簡約します。

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$7$ に $- 2$ をかけます。

$- 14 - 3 \cdot - 2$

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$- 14 + 6$

$- 14$ と $6$ をたし算します。

$- 8$

既知数を逆行列の公式に代入します。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - (- 2) \\ - (3) & 7 \end{array}]$

行列の各要素を簡約します。

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$- (- 2)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - (3) & 7 \end{array}]$

$- (3)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 7 \end{array}]$

$\frac{1}{- 8}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{- 8} \cdot - 2 & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

行列の各要素を簡約します。

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$\frac{1}{- 8} \cdot - 2$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

$\frac{1}{- 8} \cdot 2$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

$\frac{1}{- 8} \cdot - 3$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

$\frac{1}{- 8} \cdot 7$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}]$

Step 2

$X$ を解くべき行列として、逆行列を方程式の両辺にかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 3

方程式の左辺を簡約します。

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1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 7 - \frac{1}{4} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 2 \\ \frac{3}{8} \cdot 7 - \frac{7}{8} \cdot 3 & \frac{3}{8} \cdot - 2 - \frac{7}{8} \cdot - 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

単位行列に行列 $x$ を掛けると行列 $x$ です。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 4

方程式の右辺を簡約します。

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1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 25 - \frac{1}{4} \cdot 13 & \frac{1}{4} \cdot 13 - \frac{1}{4} \cdot 9 \\ \frac{3}{8} \cdot 25 - \frac{7}{8} \cdot 13 & \frac{3}{8} \cdot 13 - \frac{7}{8} \cdot 9 \end{array}]$

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

行列は最も簡約された形式です。

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

代数 例

代数例