代数例

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(6, 0)$

Step 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

簡約します。

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$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

$12$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + 144}$

$25$ と $144$ をたし算します。

$\sqrt{169}$

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{13^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$13$

Step 6

対頂点を求めます。

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双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(6, 5)$

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(6, - 5)$

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

焦点を求めます。

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双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(6, 13)$

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(6, - 13)$

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

離心率を求めます。

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次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

分子を簡約します。

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$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

$25$ と $144$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{13}{5}$

Step 9

焦点パラメーターを求めます。

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次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{12^{2}}{13}$

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{144}{13}$

Step 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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括弧を削除します。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

$\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

$- 1$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

$\frac{5}{12}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

式を書き換えます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

式を簡約します。

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$5$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

$- 1$ に $6$ をかけます。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

$x$ と $\frac{5}{12}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

$6$ の共通因数を約分します。

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$- \frac{5}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

$6$ を $12$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

$\frac{- 5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(6, 0)$

頂点： $(6, 5), (6, - 5)$

焦点： $(6, 13), (6, - 13)$

偏心： $\frac{13}{5}$

焦点のパラメータ： $\frac{144}{13}$

漸近線： $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ 、 $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15

代数 例

代数例