代数例

$f (x) = \log_{4} (x)$

Step 1

$f (x) = \log_{4} (x)$ を方程式で書きます。

$y = \log_{4} (x)$

Step 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{4} (y)$

Step 3

$y$ について解きます。

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方程式を $\log_{4} (y) = x$ として書き換えます。

$\log_{4} (y) = x$

対数の定義を利用して $\log_{4} (y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{x} = y$

方程式を $y = 4^{x}$ として書き換えます。

$y = 4^{x}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

Step 5

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$ が $f (x) = \log_{4} (x)$ の逆か確認します。

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逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{4} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} (x)}$

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = x$

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (4^{x})$ の値を求めます。

$f (4^{x}) = \log_{4} (4^{x})$

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (4^{x}) = x \log_{4} (4)$

$4$ の対数の底 $4$ は $1$ です。

$f (4^{x}) = x \cdot 1$

$x$ に $1$ をかけます。

$f (4^{x}) = x$

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ は $f (x) = \log_{4} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

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