三角関数例

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sin^{4} (x)$ を ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

ステップ 2.2

$\cos^{4} (x)$ を ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin^{2} (x)$ であり、 $b = \cos^{2} (x)$ です。

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

ステップ 2.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

ステップ 2.5

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 4

$- {\cos (x)}^{2}$ から ${\cos (x)}^{2}$ を引きます。

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 - 2 (1 - \sin^{2} (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

ステップ 6.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$1 - 2 + 2 {\sin (x)}^{2}$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 7

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$ を $2 \sin^{2} (x) - 1$ に書き換えます。

$2 \sin^{2} (x) - 1$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$ は公式です

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