グラムシュミット法で正規直交基底を求める
, ,
ステップ 1
それぞれのベクトルに名前を付けます。
ステップ 2
最初の直交ベクトルは、与えられたベクトル集合の中の最初のベクトルです。
ステップ 3
この公式を使って他の直交ベクトルを求めます。
ステップ 4
直交ベクトルを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
この公式を使ってを求めます。
ステップ 4.2
に代入します。
ステップ 4.3
を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.1
ドット積を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.1.1
2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。
ステップ 4.3.1.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.1.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.1.2.1.1
をかけます。
ステップ 4.3.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 4.3.1.2.1.3
をかけます。
ステップ 4.3.1.2.2
をたし算します。
ステップ 4.3.1.2.3
をたし算します。
ステップ 4.3.2
のノルムを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.1
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 4.3.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.2.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.4
をたし算します。
ステップ 4.3.2.2.5
をたし算します。
ステップ 4.3.3
への投影を投影公式を用いて求めます。
ステップ 4.3.4
に代入します。
ステップ 4.3.5
に代入します。
ステップ 4.3.6
に代入します。
ステップ 4.3.7
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.7.1
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.7.1.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 4.3.7.1.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 4.3.7.1.3
をまとめます。
ステップ 4.3.7.1.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.7.1.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 4.3.7.1.4.2
式を書き換えます。
ステップ 4.3.7.1.5
指数を求めます。
ステップ 4.3.7.2
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 4.3.7.3
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.7.3.1
をかけます。
ステップ 4.3.7.3.2
をかけます。
ステップ 4.3.7.3.3
をかけます。
ステップ 4.4
投影を代入します。
ステップ 4.5
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.5.1
ベクトルの各成分をまとめます。
ステップ 4.5.2
からを引きます。
ステップ 4.5.3
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 4.5.4
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.5.5
からを引きます。
ステップ 4.5.6
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 4.5.7
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.5.8
からを引きます。
ステップ 5
直交ベクトルを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
この公式を使ってを求めます。
ステップ 5.2
に代入します。
ステップ 5.3
を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1
ドット積を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1.1
2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。
ステップ 5.3.1.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1.2.1.1
をかけます。
ステップ 5.3.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 5.3.1.2.1.3
をかけます。
ステップ 5.3.1.2.2
をたし算します。
ステップ 5.3.1.2.3
をたし算します。
ステップ 5.3.2
のノルムを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.1
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 5.3.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.2.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.3.2.2.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.3.2.2.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.3.2.2.4
をたし算します。
ステップ 5.3.2.2.5
をたし算します。
ステップ 5.3.3
への投影を投影公式を用いて求めます。
ステップ 5.3.4
に代入します。
ステップ 5.3.5
に代入します。
ステップ 5.3.6
に代入します。
ステップ 5.3.7
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.7.1
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.7.1.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 5.3.7.1.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 5.3.7.1.3
をまとめます。
ステップ 5.3.7.1.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.7.1.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.7.1.4.2
式を書き換えます。
ステップ 5.3.7.1.5
指数を求めます。
ステップ 5.3.7.2
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 5.3.7.3
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.7.3.1
をかけます。
ステップ 5.3.7.3.2
をかけます。
ステップ 5.3.7.3.3
をかけます。
ステップ 5.4
を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1
ドット積を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.1
2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。
ステップ 5.4.1.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.2.1.1
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.2.1.1.1
をかけます。
ステップ 5.4.1.2.1.1.2
をかけます。
ステップ 5.4.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 5.4.1.2.1.3
をかけます。
ステップ 5.4.1.2.2
をたし算します。
ステップ 5.4.1.2.3
をたし算します。
ステップ 5.4.2
のノルムを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.1
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 5.4.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.1
べき乗則を利用して指数を分配します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2.1.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2.2
乗します。
ステップ 5.4.2.2.3
をかけます。
ステップ 5.4.2.2.4
乗します。
ステップ 5.4.2.2.5
乗します。
ステップ 5.4.2.2.6
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2.7
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.4.2.2.8
乗します。
ステップ 5.4.2.2.9
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 5.4.2.2.11
乗します。
ステップ 5.4.2.2.12
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.4.2.2.13
をたし算します。
ステップ 5.4.2.2.14
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.4.2.2.15
をたし算します。
ステップ 5.4.2.2.16
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.16.1
で因数分解します。
ステップ 5.4.2.2.16.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.16.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.4.2.2.16.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.2.2.16.2.3
式を書き換えます。
ステップ 5.4.2.2.17
に書き換えます。
ステップ 5.4.2.2.18
をかけます。
ステップ 5.4.2.2.19
分母を組み合わせて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.19.1
をかけます。
ステップ 5.4.2.2.19.2
乗します。
ステップ 5.4.2.2.19.3
乗します。
ステップ 5.4.2.2.19.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.4.2.2.19.5
をたし算します。
ステップ 5.4.2.2.19.6
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.19.6.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 5.4.2.2.19.6.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 5.4.2.2.19.6.3
をまとめます。
ステップ 5.4.2.2.19.6.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.19.6.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.2.2.19.6.4.2
式を書き換えます。
ステップ 5.4.2.2.19.6.5
指数を求めます。
ステップ 5.4.2.2.20
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.2.20.1
根の積の法則を使ってまとめます。
ステップ 5.4.2.2.20.2
をかけます。
ステップ 5.4.3
への投影を投影公式を用いて求めます。
ステップ 5.4.4
に代入します。
ステップ 5.4.5
に代入します。
ステップ 5.4.6
に代入します。
ステップ 5.4.7
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.7.1.2
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1.2.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 5.4.7.1.2.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 5.4.7.1.2.3
をまとめます。
ステップ 5.4.7.1.2.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1.2.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.7.1.2.4.2
式を書き換えます。
ステップ 5.4.7.1.2.5
指数を求めます。
ステップ 5.4.7.1.3
乗します。
ステップ 5.4.7.1.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1.4.1
で因数分解します。
ステップ 5.4.7.1.4.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.1.4.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.4.7.1.4.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.7.1.4.2.3
式を書き換えます。
ステップ 5.4.7.2
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 5.4.7.3
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.3.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.7.3.2
式を書き換えます。
ステップ 5.4.7.4
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 5.4.7.5
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.5.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.5.1.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 5.4.7.5.1.2
で因数分解します。
ステップ 5.4.7.5.1.3
共通因数を約分します。
ステップ 5.4.7.5.1.4
式を書き換えます。
ステップ 5.4.7.5.2
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.4.7.5.3
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.5.3.1
をかけます。
ステップ 5.4.7.5.3.2
をかけます。
ステップ 5.4.7.5.4
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.7.5.4.1
をかけます。
ステップ 5.4.7.5.4.2
をかけます。
ステップ 5.5
投影を代入します。
ステップ 5.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1
ベクトルの各成分をまとめます。
ステップ 5.6.2
ベクトルの各成分をまとめます。
ステップ 5.6.3
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.3.1
をかけます。
ステップ 5.6.3.2
をかけます。
ステップ 5.6.4
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.4.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.6.4.2
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.4.2.1
をたし算します。
ステップ 5.6.4.2.2
で割ります。
ステップ 5.6.5
をかけます。
ステップ 5.6.6
からを引きます。
ステップ 5.6.7
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.6.8
の適した因数を掛けて、各式をを公分母とする式で書きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.8.1
をかけます。
ステップ 5.6.8.2
をかけます。
ステップ 5.6.9
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.9.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.6.9.2
からを引きます。
ステップ 5.6.10
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.10.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.10.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.10.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.10.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.6.10.2.3
式を書き換えます。
ステップ 5.6.11
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.6.12
公分母を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.12.1
を分母をもつ分数で書きます。
ステップ 5.6.12.2
をかけます。
ステップ 5.6.12.3
をかけます。
ステップ 5.6.12.4
をかけます。
ステップ 5.6.12.5
をかけます。
ステップ 5.6.12.6
の因数を並べ替えます。
ステップ 5.6.12.7
をかけます。
ステップ 5.6.13
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.6.14
数を引いて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.14.1
からを引きます。
ステップ 5.6.14.2
からを引きます。
ステップ 5.6.15
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.15.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.15.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.15.2.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.15.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.6.15.2.3
式を書き換えます。
ステップ 6
各直交ベクトルをそのノルムで割って正規直交基底を求めます。
ステップ 7
となる単位ベクトルを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
ベクトルと同じ方向の単位ベクトルを求めるには、のノルムで割ります。
ステップ 7.2
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 7.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.3.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.3.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.3.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.3.4
をたし算します。
ステップ 7.3.5
をたし算します。
ステップ 7.4
ベクトルをそのノルムで割ります。
ステップ 7.5
ベクトルの各要素をで割ります。
ステップ 8
となる単位ベクトルを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.1
ベクトルと同じ方向の単位ベクトルを求めるには、のノルムで割ります。
ステップ 8.2
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 8.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.3.1
べき乗則を利用して指数を分配します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.3.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.3.1.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.3.2
乗します。
ステップ 8.3.3
をかけます。
ステップ 8.3.4
乗します。
ステップ 8.3.5
乗します。
ステップ 8.3.6
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.3.7
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 8.3.8
乗します。
ステップ 8.3.9
積の法則をに当てはめます。
ステップ 8.3.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 8.3.11
乗します。
ステップ 8.3.12
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.3.13
をたし算します。
ステップ 8.3.14
公分母の分子をまとめます。
ステップ 8.3.15
をたし算します。
ステップ 8.3.16
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.3.16.1
で因数分解します。
ステップ 8.3.16.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.3.16.2.1
で因数分解します。
ステップ 8.3.16.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 8.3.16.2.3
式を書き換えます。
ステップ 8.3.17
に書き換えます。
ステップ 8.4
ベクトルをそのノルムで割ります。
ステップ 8.5
ベクトルの各要素をで割ります。
ステップ 8.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.6.1
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 8.6.2
をかけます。
ステップ 8.6.3
の左に移動させます。
ステップ 8.6.4
の左に移動させます。
ステップ 8.6.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 8.6.6
をかけます。
ステップ 8.6.7
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 8.6.8
をかけます。
ステップ 9
となる単位ベクトルを求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
ベクトルと同じ方向の単位ベクトルを求めるには、のノルムで割ります。
ステップ 9.2
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 9.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.3.2
べき乗則を利用して指数を分配します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.2.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 9.3.2.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 9.3.3
乗します。
ステップ 9.3.4
をかけます。
ステップ 9.3.5
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 9.3.6
乗します。
ステップ 9.3.7
積の法則をに当てはめます。
ステップ 9.3.8
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 9.3.9
乗します。
ステップ 9.3.10
をたし算します。
ステップ 9.3.11
公分母の分子をまとめます。
ステップ 9.3.12
をたし算します。
ステップ 9.3.13
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.13.1
で因数分解します。
ステップ 9.3.13.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.13.2.1
で因数分解します。
ステップ 9.3.13.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 9.3.13.2.3
式を書き換えます。
ステップ 9.3.14
に書き換えます。
ステップ 9.3.15
のいずれの根はです。
ステップ 9.4
ベクトルをそのノルムで割ります。
ステップ 9.5
ベクトルの各要素をで割ります。
ステップ 9.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.6.1
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 9.6.2
をかけます。
ステップ 9.6.3
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 9.6.4
をまとめます。
ステップ 9.6.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 9.6.6
をまとめます。
ステップ 10
既知数を代入します。
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