微分積分学準備例

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、ドット積の公式を使用します。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

ドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$3$ に $9$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

ステップ 2.2.1.2

$8$ に $12$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

ステップ 2.2.2

$27$ と $96$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

ステップ 3.2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

ステップ 3.2.3

$9$ と $64$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

ステップ 4.2.2

$12$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

ステップ 4.2.3

$81$ と $144$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

ステップ 4.2.4

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

ステップ 4.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 15$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$123$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$3$ を $123$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$3$ を $\sqrt{73} \cdot 15$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

ステップ 6.2

$5$ を $\sqrt{73}$ の左に移動させます。

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

ステップ 6.3

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ に $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ に $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{73}$ を移動させます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{73}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

ステップ 6.4.4

$\sqrt{73}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

ステップ 6.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

ステップ 6.4.7

${\sqrt{73}}^{2}$ を $73$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{73}$ を $73^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

ステップ 6.4.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

ステップ 6.5

$5$ に $73$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

ステップ 6.6

$\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ の値を求めます。

$θ = 16.31385242$

問題を入力

微分積分学準備 例

微分積分学準備例