微分積分学準備例

$20$ , $4$ , $\frac{4}{5}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に $\frac{1}{5}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列： $r = \frac{1}{5}$

ステップ 2

$S_{n}$ の級数の和は $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ の公式を利用して求めます。無限等比級数 $S_{\infty}$ の和は、 $n$ が $\infty$ に近づくと、 $1 - r^{n}$ は $1$ に近づきます。したがって、 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ は $\frac{a}{1 - r}$ に近づきます。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

ステップ 3

$a = 20$ と $r = \frac{1}{5}$ の値は $S_{\infty}$ の方程式に入れることができます。

$S_{\infty} = \frac{20}{1 - \frac{1}{5}}$

ステップ 4

方程式を簡約し、 $S_{\infty}$ を求めます。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5 - 1}{5}}$

ステップ 4.1.3

$5$ から $1$ を引きます。

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{4}{5}}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$S_{\infty} = 20 (\frac{5}{4})$

ステップ 4.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$S_{\infty} = 4 (5) (\frac{5}{4})$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$S_{\infty} = 4 \cdot (5 (\frac{5}{4}))$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$S_{\infty} = 5 \cdot 5$

ステップ 4.4

$5$ に $5$ をかけます。

$S_{\infty} = 25$

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