線形代数例

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

ステップ 1

それぞれのベクトルに名前を付けます。

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

ステップ 2

最初の直交ベクトルは、与えられたベクトル集合の中の最初のベクトルです。

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

ステップ 3

この公式を使って他の直交ベクトルを求めます。

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

ステップ 4

直交ベクトル ${v⃗}_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

この公式を使って ${v⃗}_{2}$ を求めます。

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

ステップ 4.2

$(0, 1, 1)$ を ${u⃗}_{2}$ に代入します。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

ステップ 4.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

ドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1.1

$0$ に $1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2.1.2

$1$ に $1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2.1.3

$1$ に $1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

ステップ 4.3.1.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

ステップ 4.3.1.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

ステップ 4.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ のノルムを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

ステップ 4.3.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

ステップ 4.3.2.2.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

ステップ 4.3.3

${u⃗}_{2}$ の ${v⃗}_{1}$ への投影を投影公式を用いて求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.4

$2$ を ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.5

$\sqrt{3}$ を $| | {v⃗}_{1} | |$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.6

$(1, 1, 1)$ を ${v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.5

指数を求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.2

$\frac{2}{3}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 4.3.7.3.1

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3.3

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 4.4

投影を代入します。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

ベクトルの各成分をまとめます。

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.2

$0$ から $\frac{2}{3}$ を引きます。

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.4

公分母の分子をまとめます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.5

$3$ から $2$ を引きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 4.5.7

公分母の分子をまとめます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

ステップ 4.5.8

$3$ から $2$ を引きます。

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5

各直交ベクトルをそのノルムで割って正規直交基底を求めます。

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

ステップ 6

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ となる単位ベクトル $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ を求めます。

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ステップ 6.1

ベクトル $v⃗$ と同じ方向の単位ベクトルを求めるには、 $v⃗$ のノルムで割ります。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

ステップ 6.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 6.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 6.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

ステップ 6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{2 + 1}$

ステップ 6.3.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{3}$

ステップ 6.4

ベクトルをそのノルムで割ります。

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

ステップ 6.5

ベクトルの各要素を $\sqrt{3}$ で割ります。

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

ステップ 7

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ となる単位ベクトル $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ を求めます。

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ステップ 7.1

ベクトル $v⃗$ と同じ方向の単位ベクトルを求めるには、 $v⃗$ のノルムで割ります。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

ステップ 7.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 7.3.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.6

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.8

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 7.3.9

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 7.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

ステップ 7.3.11

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 7.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 7.3.13

$4$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 7.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

ステップ 7.3.15

$5$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

ステップ 7.3.16

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.16.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

ステップ 7.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.16.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 7.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 7.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 7.3.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.4

ベクトルをそのノルムで割ります。

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

ステップ 7.5

ベクトルの各要素を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ で割ります。

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.3

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.4

$3$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.6

$\frac{1}{3}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 7.6.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

ステップ 7.6.8

$\frac{1}{3}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

ステップ 8

既知数を代入します。

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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