線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1

2つのベクトルのドット積が $0$ であれば、それらは直交しています。

ステップ 2

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ と $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

$0$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 0 - 1$

ステップ 2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - 1$

ステップ 2.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 3

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ と $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2

$0 (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 0 - 1$

ステップ 3.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - 1$

ステップ 3.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ と $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.5

指数を求めます。

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.5

$1$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 + 1$

ステップ 4.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 1$

ステップ 4.2.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

ドット積がすべて $0$ なので、ベクトルは直交しています。

直交

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