線形代数例

$x + 2 y + z = 3$ , $2 x - y - 3 z = 5$ , $4 x + 3 y - z = k$

ステップ 1

方程式の両辺から $k$ を引きます。

$x + 2 y + z = 3, 2 x - y - 3 z = 5, 4 x + 3 y - z - k = 0$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1 k$ を $- k$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 & - 3 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 3 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算 $R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.3.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k + k \cdot 1 & 3 + k \cdot 2 & - 1 + k \cdot 1 & 0 + k \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

ステップ 3.4

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.4.1

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算 $R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.5.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 - (3 + 2 k) \cdot 0 & 3 + 2 k - (3 + 2 k) \cdot 1 & - 1 + k - (3 + 2 k) \cdot 1 & 3 k - (3 + 2 k) \frac{1}{5} \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

ステップ 3.6

$R_{3}$ の各要素に $\frac{1}{- k - 4}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.6.1

$R_{3}$ の各要素に $\frac{1}{- k - 4}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ \frac{0}{- k - 4} & \frac{0}{- k - 4} & \frac{- k - 4}{- k - 4} & \frac{\frac{13 k - 3}{5}}{- k - 4} \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.7.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{5} + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 3 + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.9.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} - 2 \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

ステップ 4

$k = - 4$ のとき $- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}$ が未定義なので、 $k = - 4$ は連立を解をもたないものにします。

$k = - 4$

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