線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{array}]$

ステップ 1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 2

各要素を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 2.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & 1 - 2 \end{array}]$

ステップ 2.4

$1$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 4

行列式を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 \cdot - 1 - 2 \cdot - 1$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 \cdot - 1$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 4.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 5

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 6

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.2

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.4.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 8.5

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & 0 \end{array}]$

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