線形代数 例
ステップ 1
ステップ 1.1
固有値を求めます。
ステップ 1.1.1
公式を設定し特性方程式を求めます。
ステップ 1.1.2
サイズの単位行列または恒等行列は正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。
ステップ 1.1.3
既知の値をに代入します。
ステップ 1.1.3.1
をに代入します。
ステップ 1.1.3.2
をに代入します。
ステップ 1.1.4
簡約します。
ステップ 1.1.4.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.4.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 1.1.4.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 1.1.4.1.2.1
にをかけます。
ステップ 1.1.4.1.2.2
を掛けます。
ステップ 1.1.4.1.2.2.1
にをかけます。
ステップ 1.1.4.1.2.2.2
にをかけます。
ステップ 1.1.4.1.2.3
を掛けます。
ステップ 1.1.4.1.2.3.1
にをかけます。
ステップ 1.1.4.1.2.3.2
にをかけます。
ステップ 1.1.4.1.2.4
にをかけます。
ステップ 1.1.4.2
対応する要素を足します。
ステップ 1.1.4.3
各要素を簡約します。
ステップ 1.1.4.3.1
とをたし算します。
ステップ 1.1.4.3.2
とをたし算します。
ステップ 1.1.5
行列式を求めます。
ステップ 1.1.5.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 1.1.5.2
行列式を簡約します。
ステップ 1.1.5.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.5.2.1.1
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 1.1.5.2.1.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.5.2.1.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.5.2.1.1.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.5.2.1.2
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.1
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.2
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.3
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.6
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.1.7
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.1.2.2
からを引きます。
ステップ 1.1.5.2.1.3
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2.2
からを引きます。
ステップ 1.1.5.2.3
とを並べ替えます。
ステップ 1.1.6
特性多項式をと等しくし、固有値を求めます。
ステップ 1.1.7
について解きます。
ステップ 1.1.7.1
たすき掛けを利用してを因数分解します。
ステップ 1.1.7.1.1
の形式を考えます。積がで和がである整数の組を求めます。このとき、その積がで、その和がです。
ステップ 1.1.7.1.2
この整数を利用して因数分解の形を書きます。
ステップ 1.1.7.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 1.1.7.3
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.1.7.3.1
がに等しいとします。
ステップ 1.1.7.3.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.1.7.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.1.7.4.1
がに等しいとします。
ステップ 1.1.7.4.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.1.7.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 1.2
固有ベクトルは、行列の0空間から固有値を引いたものに、単位行列をかけたものに等しくなります。ここではが0空間、は単位行列です。
ステップ 1.3
固有値を使用して固有ベクトルを求めます。
ステップ 1.3.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 1.3.2
簡約します。
ステップ 1.3.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.3.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 1.3.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 1.3.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 1.3.2.1.2.2
にをかけます。
ステップ 1.3.2.1.2.3
にをかけます。
ステップ 1.3.2.1.2.4
にをかけます。
ステップ 1.3.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 1.3.2.3
各要素を簡約します。
ステップ 1.3.2.3.1
からを引きます。
ステップ 1.3.2.3.2
とをたし算します。
ステップ 1.3.2.3.3
とをたし算します。
ステップ 1.3.2.3.4
からを引きます。
ステップ 1.3.3
の場合の0空間を求めます。
ステップ 1.3.3.1
の拡大行列で書きます。
ステップ 1.3.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 1.3.3.2.1
の各要素にを掛けての項目をにします。
ステップ 1.3.3.2.1.1
の各要素にを掛けての項目をにします。
ステップ 1.3.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 1.3.3.2.2
行演算を行いの項目をにします。
ステップ 1.3.3.2.2.1
行演算を行いの項目をにします。
ステップ 1.3.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 1.3.3.3
結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。
ステップ 1.3.3.4
各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。
ステップ 1.3.3.5
ベクトルの線形結合として解を書きます。
ステップ 1.3.3.6
解の集合で書きます。
ステップ 1.3.3.7
解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。
ステップ 1.4
固有値を使用して固有ベクトルを求めます。
ステップ 1.4.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 1.4.2
簡約します。
ステップ 1.4.2.1
対応する要素を引きます。
ステップ 1.4.2.2
各要素を簡約します。
ステップ 1.4.2.2.1
からを引きます。
ステップ 1.4.2.2.2
からを引きます。
ステップ 1.4.2.2.3
からを引きます。
ステップ 1.4.2.2.4
からを引きます。
ステップ 1.4.3
の場合の0空間を求めます。
ステップ 1.4.3.1
の拡大行列で書きます。
ステップ 1.4.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 1.4.3.2.1
の各要素にを掛けての項目をにします。
ステップ 1.4.3.2.1.1
の各要素にを掛けての項目をにします。
ステップ 1.4.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 1.4.3.2.2
行演算を行いの項目をにします。
ステップ 1.4.3.2.2.1
行演算を行いの項目をにします。
ステップ 1.4.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 1.4.3.3
結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。
ステップ 1.4.3.4
各行の自由変数の項の解を求めて、解のベクトルを書きます。
ステップ 1.4.3.5
ベクトルの線形結合として解を書きます。
ステップ 1.4.3.6
解の集合で書きます。
ステップ 1.4.3.7
解は式の自由変数から作られるベクトルの集合です。
ステップ 1.5
の固有空間は、各固有値のベクトル空間のリストです。
ステップ 2
を固有ベクトルの行列として定義します。
ステップ 3
ステップ 3.1
行列の逆行列は公式を利用して求めることができます。ここで、は行列式です。
ステップ 3.2
行列式を求めます。
ステップ 3.2.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 3.2.2
行列式を簡約します。
ステップ 3.2.2.1
各項を簡約します。
ステップ 3.2.2.1.1
にをかけます。
ステップ 3.2.2.1.2
を掛けます。
ステップ 3.2.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 3.2.2.1.2.2
にをかけます。
ステップ 3.2.2.2
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 3.2.2.3
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.2.2.4
とをたし算します。
ステップ 3.3
行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。
ステップ 3.4
既知の値を逆数の公式に代入します。
ステップ 3.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 3.6
にをかけます。
ステップ 3.7
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 3.8
行列の各要素を簡約します。
ステップ 3.8.1
にをかけます。
ステップ 3.8.2
の共通因数を約分します。
ステップ 3.8.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.8.2.2
式を書き換えます。
ステップ 3.8.3
とをまとめます。
ステップ 3.8.4
を掛けます。
ステップ 3.8.4.1
とをまとめます。
ステップ 3.8.4.2
にをかけます。
ステップ 3.8.5
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 3.8.6
にをかけます。
ステップ 4
相似変換を使って対角行列を求めます。
ステップ 5
行列を代入します。
ステップ 6
ステップ 6.1
を掛けます。
ステップ 6.1.1
2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は、第二の行列はです。
ステップ 6.1.2
1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。
ステップ 6.1.3
すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。
ステップ 6.2
を掛けます。
ステップ 6.2.1
2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は、第二の行列はです。
ステップ 6.2.2
1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。
ステップ 6.2.3
すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。