線形代数例

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 1

行列の列が線形従属がどうかを判別するには、方程式 $A x = 0$ が自明でない解を持つかどうかを判別します。

ステップ 2

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{1}{2}) & - 3 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4

行演算 $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ を行い $4, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

行演算 $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ を行い $4, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算 $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ を行い $5, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算 $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ を行い $5, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{5}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6

$R_{2}$ の各要素に $\frac{2}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.6.1

$R_{2}$ の各要素に $\frac{2}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 7 + 3 (\frac{4}{5}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ を行い $4, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

行演算 $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ を行い $4, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算 $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ を行い $5, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

行演算 $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ を行い $5, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{5}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.10

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{5}{23}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{5}{23}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} (- \frac{23}{5}) & - \frac{5}{23} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.10.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.11

行演算 $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ を行い $4, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

行演算 $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ を行い $4, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.11.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.12

行演算 $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ を行い $5, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

行演算 $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ を行い $5, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.12.2

$R_{5}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.13

行演算 $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.13.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.14

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.14.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.15

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.15.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

すべて0の行を削除します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 5

行列を連立一次方程式で書きます。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

ステップ 6

$A x = 0$ の唯一の解は自明解であるため、ベクトルは線形独立です。

線形独立

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線形代数 例

線形代数例