線形代数 例

固有値/固有空間を求める
ステップ 1
固有値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
公式を設定し特性方程式を求めます。
ステップ 1.2
サイズの単位行列または恒等行列は正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。
ステップ 1.3
既知の値をに代入します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
に代入します。
ステップ 1.3.2
に代入します。
ステップ 1.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 1.4.1.2
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.2.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.2.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.3
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.3.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.3.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.4
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.4.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.4.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.5
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.6
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.6.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.6.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.7
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.7.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.7.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.8
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1.2.8.1
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.8.2
をかけます。
ステップ 1.4.1.2.9
をかけます。
ステップ 1.4.2
対応する要素を足します。
ステップ 1.4.3
Simplify each element.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.3.1
をたし算します。
ステップ 1.4.3.2
をたし算します。
ステップ 1.4.3.3
をたし算します。
ステップ 1.4.3.4
をたし算します。
ステップ 1.4.3.5
をたし算します。
ステップ 1.4.3.6
をたし算します。
ステップ 1.4.3.7
からを引きます。
ステップ 1.5
Find the determinant.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
ステップ 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
ステップ 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.9
Add the terms together.
ステップ 1.5.2
をかけます。
ステップ 1.5.3
をかけます。
ステップ 1.5.4
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 1.5.4.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1.1
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.1.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.2
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.1
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.2
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.6
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.7
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.2
からを引きます。
ステップ 1.5.4.2.1.3
をかけます。
ステップ 1.5.4.2.2
からを引きます。
ステップ 1.5.4.2.3
を並べ替えます。
ステップ 1.5.5
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.1
の反対側の項を組み合わせます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.1.1
をたし算します。
ステップ 1.5.5.1.2
からを引きます。
ステップ 1.5.5.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.5.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.3.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.3.1.1
を移動させます。
ステップ 1.5.5.3.1.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.3.1.2.1
乗します。
ステップ 1.5.5.3.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.5.5.3.1.3
をたし算します。
ステップ 1.5.5.3.2
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.5.5.3.3
をかけます。
ステップ 1.5.5.4
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.4.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.5.4.1.1
を移動させます。
ステップ 1.5.5.4.1.2
をかけます。
ステップ 1.5.5.4.2
をかけます。
ステップ 1.6
特性多項式をと等しくし、固有値を求めます。
ステップ 1.7
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1
方程式の左辺を因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1.1
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1.1.1
で因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.2
で因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.3
で因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.4
で因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.5
で因数分解します。
ステップ 1.7.1.2
因数分解。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1.2.1
たすき掛けを利用してを因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1.2.1.1
の形式を考えます。積がで和がである整数の組を求めます。このとき、その積がで、その和がです。
ステップ 1.7.1.2.1.2
この整数を利用して因数分解の形を書きます。
ステップ 1.7.1.2.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 1.7.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 1.7.3
に等しいとします。
ステップ 1.7.4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.4.1
に等しいとします。
ステップ 1.7.4.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.7.5
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.5.1
に等しいとします。
ステップ 1.7.5.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 1.7.6
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
ステップ 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 3.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 3.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1.2.1
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.2
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.3
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.4
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.5
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.6
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.7
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.8
をかけます。
ステップ 3.2.1.2.9
をかけます。
ステップ 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.1
対応する要素を足します。
ステップ 3.2.2.2
Simplify each element.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.2.1
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.2
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.3
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.4
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.5
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.6
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.7
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.8
をたし算します。
ステップ 3.2.2.2.9
をたし算します。
ステップ 3.3
Find the null space when .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 3.3.2
縮小行の階段形を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.4.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.5.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.6.2
を簡約します。
ステップ 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 3.3.6
Write as a solution set.
ステップ 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 4.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 4.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.1.2.1
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.2
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.3
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.4
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.5
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.6
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.7
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.8
をかけます。
ステップ 4.2.1.2.9
をかけます。
ステップ 4.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 4.2.3
Simplify each element.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.3.1
からを引きます。
ステップ 4.2.3.2
をたし算します。
ステップ 4.2.3.3
をたし算します。
ステップ 4.2.3.4
をたし算します。
ステップ 4.2.3.5
からを引きます。
ステップ 4.2.3.6
をたし算します。
ステップ 4.2.3.7
をたし算します。
ステップ 4.2.3.8
をたし算します。
ステップ 4.2.3.9
からを引きます。
ステップ 4.3
Find the null space when .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 4.3.2
縮小行の階段形を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
ステップ 4.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.5.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.6.2
を簡約します。
ステップ 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 4.3.6
Write as a solution set.
ステップ 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 5.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 5.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1.2.1
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.2
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.3
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.4
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.5
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.6
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.7
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.8
をかけます。
ステップ 5.2.1.2.9
をかけます。
ステップ 5.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 5.2.3
Simplify each element.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.3.1
をたし算します。
ステップ 5.2.3.2
をたし算します。
ステップ 5.2.3.3
をたし算します。
ステップ 5.2.3.4
をたし算します。
ステップ 5.2.3.5
をたし算します。
ステップ 5.2.3.6
をたし算します。
ステップ 5.2.3.7
をたし算します。
ステップ 5.2.3.8
をたし算します。
ステップ 5.2.3.9
をたし算します。
ステップ 5.3
Find the null space when .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 5.3.2
縮小行の階段形を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
ステップ 5.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.5.2
を簡約します。
ステップ 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 5.3.6
Write as a solution set.
ステップ 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.
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