例
ステップ 1
それぞれのベクトルに名前を付けます。
ステップ 2
最初の直交ベクトルは、与えられたベクトル集合の中の最初のベクトルです。
ステップ 3
この公式を使って他の直交ベクトルを求めます。
ステップ 4
ステップ 4.1
この公式を使ってを求めます。
ステップ 4.2
をに代入します。
ステップ 4.3
を求めます。
ステップ 4.3.1
ドット積を求めます。
ステップ 4.3.1.1
2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。
ステップ 4.3.1.2
簡約します。
ステップ 4.3.1.2.1
各項を簡約します。
ステップ 4.3.1.2.1.1
にをかけます。
ステップ 4.3.1.2.1.2
にをかけます。
ステップ 4.3.1.2.1.3
にをかけます。
ステップ 4.3.1.2.2
とをたし算します。
ステップ 4.3.1.2.3
とをたし算します。
ステップ 4.3.2
のノルムを求めます。
ステップ 4.3.2.1
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 4.3.2.2
簡約します。
ステップ 4.3.2.2.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.3.2.2.4
とをたし算します。
ステップ 4.3.2.2.5
とをたし算します。
ステップ 4.3.3
のへの投影を投影公式を用いて求めます。
ステップ 4.3.4
をに代入します。
ステップ 4.3.5
をに代入します。
ステップ 4.3.6
をに代入します。
ステップ 4.3.7
右辺を簡約します。
ステップ 4.3.7.1
をに書き換えます。
ステップ 4.3.7.1.1
を利用し、をに書き換えます。
ステップ 4.3.7.1.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 4.3.7.1.3
とをまとめます。
ステップ 4.3.7.1.4
の共通因数を約分します。
ステップ 4.3.7.1.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 4.3.7.1.4.2
式を書き換えます。
ステップ 4.3.7.1.5
指数を求めます。
ステップ 4.3.7.2
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 4.3.7.3
行列の各要素を簡約します。
ステップ 4.3.7.3.1
にをかけます。
ステップ 4.3.7.3.2
にをかけます。
ステップ 4.3.7.3.3
にをかけます。
ステップ 4.4
投影を代入します。
ステップ 4.5
簡約します。
ステップ 4.5.1
ベクトルの各成分をまとめます。
ステップ 4.5.2
からを引きます。
ステップ 4.5.3
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 4.5.4
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.5.5
からを引きます。
ステップ 4.5.6
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 4.5.7
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.5.8
からを引きます。
ステップ 5
各直交ベクトルをそのノルムで割って正規直交基底を求めます。
ステップ 6
ステップ 6.1
ベクトルと同じ方向の単位ベクトルを求めるには、のノルムで割ります。
ステップ 6.2
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 6.3
簡約します。
ステップ 6.3.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 6.3.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 6.3.3
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 6.3.4
とをたし算します。
ステップ 6.3.5
とをたし算します。
ステップ 6.4
ベクトルをそのノルムで割ります。
ステップ 6.5
ベクトルの各要素をで割ります。
ステップ 7
ステップ 7.1
ベクトルと同じ方向の単位ベクトルを求めるには、のノルムで割ります。
ステップ 7.2
ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。
ステップ 7.3
簡約します。
ステップ 7.3.1
べき乗則を利用して指数を分配します。
ステップ 7.3.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.3.1.2
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.3.2
を乗します。
ステップ 7.3.3
にをかけます。
ステップ 7.3.4
を乗します。
ステップ 7.3.5
を乗します。
ステップ 7.3.6
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.3.7
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.3.8
を乗します。
ステップ 7.3.9
積の法則をに当てはめます。
ステップ 7.3.10
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 7.3.11
を乗します。
ステップ 7.3.12
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.3.13
とをたし算します。
ステップ 7.3.14
公分母の分子をまとめます。
ステップ 7.3.15
とをたし算します。
ステップ 7.3.16
との共通因数を約分します。
ステップ 7.3.16.1
をで因数分解します。
ステップ 7.3.16.2
共通因数を約分します。
ステップ 7.3.16.2.1
をで因数分解します。
ステップ 7.3.16.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 7.3.16.2.3
式を書き換えます。
ステップ 7.3.17
をに書き換えます。
ステップ 7.4
ベクトルをそのノルムで割ります。
ステップ 7.5
ベクトルの各要素をで割ります。
ステップ 7.6
簡約します。
ステップ 7.6.1
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 7.6.2
にをかけます。
ステップ 7.6.3
をの左に移動させます。
ステップ 7.6.4
をの左に移動させます。
ステップ 7.6.5
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 7.6.6
にをかけます。
ステップ 7.6.7
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 7.6.8
にをかけます。
ステップ 8
既知数を代入します。