微分積分例

$\int x \cos (3 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 x)$ をまとめます。

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\sin (3 x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

ステップ 4

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

ステップ 9

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ を $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ に書き換えます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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微分積分 例

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