微分積分例

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

ステップ 1

級数は $n$ が $\infty$ に近づくときに数列の極限が存在しない場合、または $0$ に等しくない場合に発散します。

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母を分母の $n$ の最大べき乗で割ると、 $n^{3}$ です。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$n^{2}$ と $n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$n^{2}$ を $2 n^{2}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

$n^{2}$ を $n^{3}$ で因数分解します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.2

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2

$n^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.3

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.4

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.2.5

$2$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.4

極限を求めます。

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ステップ 2.4.1

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.4.2

$n$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.4.3

$n$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

ステップ 2.4.4

$5$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

ステップ 2.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{n^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 2.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 2.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 2.6.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 2.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1}{2 + 0}$

ステップ 2.6.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 2.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3

極限は存在しますが $0$ に等しくないので、級数は発散します。

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