微分積分例

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

ステップ 3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

ステップ 4

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

ステップ 5

$(u + 1) u^{6}$ を掛けます。

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

指数を足して $u$ に $u^{6}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1

$u$ に $u^{6}$ をかけます。

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ステップ 6.1.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

ステップ 6.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

ステップ 6.1.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

ステップ 6.2

$u^{6}$ に $1$ をかけます。

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$\frac{1}{8}$ と $u^{8}$ をまとめます。

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

ステップ 10.1.2

$\frac{1}{7}$ と $u^{7}$ をまとめます。

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

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