微分積分例

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = k x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $k x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

ステップ 1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $k x$ で置き換えます。

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

ステップ 1.3.2

微分します。

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ステップ 1.3.2.1

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k x$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

ステップ 1.3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.1

$k$ に $1$ をかけます。

$\cos (k x) k$

ステップ 1.3.2.3.2

$\cos (k x) k$ の因数を並べ替えます。

$k \cos (k x)$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = k \cos (k x)$

ステップ 2

$y''$ を求めます。

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ステップ 2.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

ステップ 2.2

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k \cos (k x)$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ です。

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = k x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $k x$ とします。

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $k x$ で置き換えます。

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

ステップ 2.4

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k x$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5

$k$ を $1$ 乗します。

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.6

$k$ を $1$ 乗します。

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

ステップ 2.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

ステップ 2.11

$k^{2} (- \sin (k x))$ の因数を並べ替えます。

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

ステップ 4

$y$ を $\sin (k x)$ に代入します。

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

ステップ 5

$k$ について解きます。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 k^{2} y + y = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$- 3 k^{2} y = - y$

ステップ 5.3

$- 3 k^{2} y = - y$ の各項を $- 3 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 3 k^{2} y = - y$ の各項を $- 3 y$ で割ります。

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.2.2.2

$k^{2}$ を $1$ で割ります。

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.3.3.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$k^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 5.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 5.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 5.5.4.6.5

指数を求めます。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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