微分積分例

$y = x^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ を展開します。

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.4.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.2.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.2.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.2.13

$\ln (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{\sqrt{x}}$ をまとめます。

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

ステップ 5.3

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{\sqrt{x}}$ をまとめます。

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\sqrt{x}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$1$ を掛けます。

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.4

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ で因数分解します。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.4.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 5.4.4.2

共通因数を約分します。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 5.4.4.3

式を書き換えます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.5.1

$\sqrt{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.4.5.2

$\sqrt{x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.4.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.4.5.4

$2$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.5

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.6

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.7

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.3

$2$ を $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.8.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.4.4

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

ステップ 5.8.5

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ を $2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.5.1

$\ln (x)$ と $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ を並べ替えます。

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

ステップ 5.8.5.2

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ を $2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

ステップ 5.8.5.3

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ を $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

ステップ 5.8.5.4

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ を $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

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