微分積分例

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

ステップ 2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\cos (x) \ln (\sin (x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2.10

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

ステップ 3.2.11

簡約します。

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ステップ 3.2.11.1

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.11.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.2.2

$\cos^{2} (x)$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.11.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.3.2

分数を分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.3.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 3.2.11.3.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.1.2

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.1.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

ステップ 5.3

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ と ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

ステップ 5.4

指数を足して $\sin (x)$ に ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ を移動させます。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

ステップ 5.4.2

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 5.4.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

ステップ 5.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.5

${\sin (x)}^{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$\sin (x)$ を $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1

$1$ を掛けます。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.5.2.4

$\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

ステップ 5.6

$\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

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