微分積分例

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} - 8 x$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ を展開します。

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ステップ 5.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.3.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.3

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.2.1

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

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