微分積分例

$y = x^{2}$ , $[2, 5]$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

ステップ 3.3

代入し簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ および $2$ で $\frac{1}{5} x^{5}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$5$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{5}$ と $3125$ をまとめます。

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.3

$3125$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$5$ を $3125$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.3.2.4

$625$ を $1$ で割ります。

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

ステップ 3.3.2.4

$2$ を $5$ 乗します。

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

ステップ 3.3.2.5

$32$ に $- 1$ をかけます。

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

ステップ 3.3.2.6

$- 32$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$625 + \frac{- 32}{5}$

ステップ 3.3.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$625 - \frac{32}{5}$

ステップ 3.3.2.8

$625$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

ステップ 3.3.2.9

$625$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

ステップ 3.3.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

ステップ 3.3.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.11.1

$625$ に $5$ をかけます。

$\frac{3125 - 32}{5}$

ステップ 3.3.2.11.2

$3125$ から $32$ を引きます。

$\frac{3093}{5}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{5 - 2}$ に $\frac{3093}{5}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

ステップ 4.2

$5$ から $2$ を引きます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{3093}{3 \cdot 5}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $3093$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

ステップ 4.3.2

$3$ を $3 \cdot 5$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{1031}{5}}$ を $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

ステップ 4.5

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 4.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.6.1

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.6.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.6.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 4.6.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 4.6.6.5

指数を求めます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

ステップ 4.7.2

$1031$ に $5$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

10進法形式：

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

ステップ 6

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