微分積分例

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 3.1.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.1.2

$u = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 - 2$

ステップ 3.1.3

$2$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.1.4

$u = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 - 2$

ステップ 3.1.5

$7$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 5$

ステップ 3.1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

ステップ 3.1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

ステップ 3.3

代入し簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ および $0$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{3}$ と $125$ をまとめます。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 3.3.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

ステップ 3.3.2.5

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{125}{3} + 0$

ステップ 3.3.2.6

$\frac{125}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{125}{3}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{7 - 2}$ に $\frac{125}{3}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

ステップ 4.2

$7$ から $2$ を引きます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{125}{5 \cdot 3}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.2

$5$ を $5 \cdot 3$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ を $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.6

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

ステップ 6

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微分積分 例

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