微分積分例

$y = x^{2} + 3 x + 34$ , $(0, 34)$

ステップ 1

$y = x^{2} + 3 x + 34$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

ステップ 2

与えられた点が与えられた関数のグラフ上にあるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 0$ における $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

ステップ 2.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 34$

ステップ 2.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 34$

ステップ 2.1.2.2.2

$0$ と $34$ をたし算します。

$f (0) = 34$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $34$ です。

$34$

ステップ 2.2

$34 = 34$ なので、点はグラフ上にあります。

点はグラフ上にあります

ステップ 3

接線の傾きは式の微分係数です。

$m$ $=$ は $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ の微分係数

ステップ 4

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 5

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

ステップ 5.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

ステップ 5.1.2.2

最終的な答えは $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ です。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

ステップ 5.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x$ を移動させます。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

ステップ 5.2.2

$x^{2}$ を移動させます。

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

ステップ 5.2.3

$2 h x$ と $h^{2}$ を並べ替えます。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

ステップ 5.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

ステップ 6

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

ステップ 7.1.2

簡約します。

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ステップ 7.1.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

ステップ 7.1.2.2

$- 1$ に $34$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

ステップ 7.1.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

ステップ 7.1.4

$h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

ステップ 7.1.5

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

ステップ 7.1.6

$h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

ステップ 7.1.7

$34$ から $34$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

ステップ 7.1.8

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.9

$h$ を $h^{2} + 2 h x + 3 h$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.9.1

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.9.2

$h$ を $2 h x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

ステップ 7.1.9.3

$h$ を $3 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

ステップ 7.1.9.4

$h$ を $h (h) + h (2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

ステップ 7.1.9.5

$h$ を $h (h + 2 x) + h \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

ステップ 7.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

ステップ 7.2.1.2

$h + 2 x + 3$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

ステップ 7.2.2

$h$ と $2 x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

ステップ 8.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

ステップ 8.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

ステップ 9

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 x + 0 + 3$

ステップ 10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 3$

ステップ 11

$2 (0) + 3$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ に $0$ をかけます。

$m = 0 + 3$

ステップ 11.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$m = 3$

ステップ 12

傾きは $m = 3$ で、点は $(0, 34)$ です。

$m = 3, (0, 34)$

ステップ 13

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

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ステップ 13.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 13.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (3) \cdot x + b$

ステップ 13.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (3) \cdot (0) + b$

ステップ 13.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$34 = (3) \cdot (0) + b$

ステップ 13.5

$b$ の値を求めます。

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ステップ 13.5.1

方程式を $(3) \cdot (0) + b = 34$ として書き換えます。

$(3) \cdot (0) + b = 34$

ステップ 13.5.2

$(3) \cdot (0) + b$ を簡約します。

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ステップ 13.5.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + b = 34$

ステップ 13.5.2.2

$0$ と $b$ をたし算します。

$b = 34$

ステップ 14

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = 3 x + 34$

ステップ 15

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微分積分 例

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