微分積分 例

平均値の定理を満たす場所を求める
,
ステップ 1
が区間で連続し、で微分可能ならば、区間内にであるような少なくとも1個の実数が存在します。平均値の定理は、における曲線の正切の傾きと、点と点を通る直線の傾きの関係を表しています。
で連続するならば
で微分可能なとき、
次に、少なくともに1点があります:です。
ステップ 2
が連続関数か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
区間記号:
集合の内包的記法:
ステップ 2.2
で連続します。
関数は連続です。
関数は連続です。
ステップ 3
微分係数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 3.1.2
の値を求めます。
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ステップ 3.1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 3.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.1.2.3
をかけます。
ステップ 3.1.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 3.1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.1.3.3
をかけます。
ステップ 3.1.4
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.4.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 3.1.4.2
をたし算します。
ステップ 3.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 4
微分係数が上で連続か求めます。
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ステップ 4.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
区間記号:
集合の内包的記法:
ステップ 4.2
で連続します。
関数は連続です。
関数は連続です。
ステップ 5
微分係数がで連続なので、関数はで微分可能です。
関数は微分可能です。
ステップ 6
は平均値の定理の2つの条件を満たします。で連続し、で微分可能です。
で連続し、で微分可能です。
ステップ 7
区間からの値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
式の変数で置換えます。
ステップ 7.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1.1
乗します。
ステップ 7.2.1.2
をかけます。
ステップ 7.2.1.3
をかけます。
ステップ 7.2.2
数を引いて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.2.1
からを引きます。
ステップ 7.2.2.2
からを引きます。
ステップ 7.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 8
区間からの値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.1
式の変数で置換えます。
ステップ 8.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.1.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 8.2.1.2
をかけます。
ステップ 8.2.1.3
をかけます。
ステップ 8.2.2
足し算と引き算で簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.2.1
をたし算します。
ステップ 8.2.2.2
からを引きます。
ステップ 8.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 9
についてを解きます。です。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1.1
をかけます。
ステップ 9.1.1.2
からを引きます。
ステップ 9.1.2
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.2.1
をかけます。
ステップ 9.1.2.2
をたし算します。
ステップ 9.1.3
で割ります。
ステップ 9.2
を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。
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ステップ 9.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 9.2.2
からを引きます。
ステップ 9.3
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 9.3.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 9.3.2.1.2
で割ります。
ステップ 9.3.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.3.3.1
で割ります。
ステップ 10
において求められた接線があり、端点を通る線と平行です。
における接線があり、端点を通る線と平行です。
ステップ 11
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